Xấp xỉ born là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa xấp xỉ Born

Xấp xỉ Born (Born approximation) là phương pháp gần đúng dùng trong lý thuyết tán xạ sóng, cho phép tính toán hàm sóng tán xạ của một hạt hoặc sóng khi tương tác với thế năng yếu. Trong cơ học lượng tử, hàm sóng tổng hợp được biểu diễn dưới dạng tổ hợp giữa sóng đến không đổi và sóng tán xạ do thế năng gây ra. Xấp xỉ Born bậc nhất giả định rằng ảnh hưởng của thế năng lên sóng đến là rất nhỏ, do đó sóng ban đầu không bị biến dạng đáng kể khi đi qua vùng tương tác.

Với xấp xỉ Born, hàm sóng tán xạ được tính bằng tích phân của sóng đến với thế năng và hàm Green’s function tự do, thể hiện khả năng lan truyền của hạt. Phương pháp này cung cấp biểu thức dạng đóng (closed-form) cho biên độ tán xạ, từ đó suy ra cross-section tán xạ. Kết quả xấp xỉ Born cho phép đánh giá nhanh các hệ phức tạp mà giải chính xác thường bất khả thi.

Trong quang học và vật lý điện từ, xấp xỉ Born tương đương với xấp xỉ yếu (weak scattering), áp dụng cho tán xạ ánh sáng trong môi trường có chiết suất thay đổi nhỏ (Rayleigh scattering) hoặc tán xạ vi sóng trong plasma loãng. Tính phổ biến của xấp xỉ Born nằm ở tính đơn giản và khả năng mở rộng lên bậc cao hơn để cải thiện độ chính xác khi cần.

Viện dẫn lịch sử và phát triển

Năm 1926, Max Born lần đầu đề xuất phương pháp khai triển chuỗi Born trong khuôn khổ lý thuyết tán xạ lượng tử, đánh dấu bước tiến quan trọng so với các phương pháp giải phát sóng cổ điển. Công trình ban đầu của Born là cơ sở cho lý thuyết tán xạ Rutherford cải tiến, giúp hiểu sâu hơn về tán xạ electron–hạt nhân.

Trong những thập niên 1930–1950, xấp xỉ Born được mở rộng bậc hai và bậc cao hơn, cho phép tính đến hiệu ứng đa lần tán xạ (multiple scattering) và tương tác tái sinh (rescattering). Các nhà vật lý phát triển kỹ thuật ma trận Born để giải phương trình Lippmann-Schwinger, đồng thời kết hợp với lý thuyết trường lượng tử để mô tả tán xạ photon và quark.

Trong thập niên cuối thế kỷ 20, xấp xỉ Born tiếp tục được ứng dụng và cải tiến trong nhiều lĩnh vực: quang phổ neutron, tán xạ tia X trong tinh thể học, tán xạ sóng trong môi trường phức hợp. Sự ra đời của phương pháp Born tái sinh (distorted-wave Born approximation) và xấp xỉ Born hỗn hợp (coupled-channel Born approximation) mở rộng phạm vi sử dụng cho các hệ có thế năng mạnh và đa kênh tán xạ. Born & Wolf, Principles of Optics

Nguyên lý toán học cơ bản

Phương trình Schrödinger cho hạt có bước sóng ψ(r) trong thế năng V(r) là:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) = E\,\psi(\mathbf{r})$

Dưới xấp xỉ Born, ta khai triển ψ(r) = ψ₀(r) + ψ₁(r) + …, trong đó ψ₀ là sóng đến (plane wave) và ψ₁ là sóng tán xạ bậc nhất, cho bởi tích phân:

$\psi_1(\mathbf{r}) = \int G_0(\mathbf{r},\mathbf{r}')\,V(\mathbf{r}')\,\psi_0(\mathbf{r}')\,d^3r'$

Trong đó G₀(r,r') là Green’s function cho hạt tự do và ψ₀(r') = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}'}. Biên độ tán xạ f(θ) thu được từ giới hạn sóng xa:

$\psi(\mathbf{r}) \sim e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} + f(\theta)\,\frac{e^{ikr}}{r} ,\quad f(\theta) = -\frac{2m}{4\pi\hbar^2}\int e^{-i\mathbf{k}'\cdot\mathbf{r}'}V(\mathbf{r}')e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}'}\,d^3r'$

Cross-section tán xạ được tính theo:

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2$

Điều kiện áp dụng và phạm vi hiệu lực

Xấp xỉ Born chỉ chấp nhận được khi thế năng V(r) yếu so với động năng của hạt (|V| ≪ E), và sự thay đổi hàm sóng do tương tác là nhỏ. Đối với tán xạ quang học, điều kiện tương đương là độ sai khác chiết suất Δn nhỏ (Δn ≪ 1), áp dụng cho tán xạ Rayleigh.

Khoảng cách quan sát cần ở vùng xa (far-field), tức kr ≫ 1 và r ≫ kích thước vùng tương tác, để sóng tán xạ có dạng hình cầu. Đối với tán xạ đa kênh, tần số hoặc năng lượng hạt phải đủ cao để hạn chế đa lần tán xạ.

Điều kiện	Biểu thức	Giải thích
Tiềm năng yếu	|V(r)| ≪ E	Không làm biến dạng sóng đến đáng kể
Vùng xa	kr ≫ 1	Sóng tán có hình cầu
Năng lượng cao	k a ≫ 1	Giảm hiệu ứng đa lần tán xạ

• Thế năng Coulomb không phù hợp với Born bậc nhất, cần chỉnh sửa đặc biệt.
• Cho các thế vuông và thế ngắn, Born bậc hai có thể cải thiện kết quả.
• Trong plasma loãng, áp dụng cho tán xạ Thomson.

Ứng dụng trong tán xạ hạt

Xấp xỉ Born bậc nhất thường được sử dụng để tính cross-section tán xạ electron–hạt nhân (Rutherford scattering) và neutron–nhân, cho kết quả gần đúng khi coulomb potential yếu hoặc năng lượng đủ cao. Ví dụ, cross-section Rutherford cho điện tích Z và động năng E biểu diễn như:

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{Z e^2}{8\pi\epsilon_0 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}$

Trong thực tế, xấp xỉ Born tính tốc độ tán xạ và phân bố góc tán, hỗ trợ thiết kế thí nghiệm va chạm hạt và phân tích dữ liệu va chạm trên máy gia tốc. Độ chính xác thường đạt 80–90% tại góc tán nhỏ và năng lượng cao, giúp ước lượng nhanh phản ứng hạt cơ bản. IAEA: Quantum Scattering Applications

Ứng dụng trong quang học và điện từ trường

Trong quang học, xấp xỉ Born giải thích tán xạ Rayleigh khi kích thước hạt a ≪ λ (bước sóng), cross-section tán ánh sáng ánh sáng λ là:

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\pi^2 a^6}{\lambda^4} \left|\frac{m^2-1}{m^2+2}\right|^2 (1+\cos^2\theta)$

Trong tán xạ vi sóng (Mie scattering) và plasma loãng (Thomson scattering), bản chất yếu của sự dao động điện môi cho phép áp dụng Born bậc nhất để phân tích tín hiệu radar và truyền sóng trong tầng điện ly. Xấp xỉ này cũng dùng trong mô phỏng tán xạ sóng siêu âm và truyền sóng siêu âm trong y sinh. Lumerical: Born Approximation in Optics

Hạn chế và sửa đổi bậc cao

Xấp xỉ Born bậc nhất không chính xác khi thế năng mạnh (|V| ∼ E) hoặc tán xạ đa lần (multiple scattering) chi phối. Để khắc phục, người ta sử dụng Born bậc hai (second-order) và bậc n (nth-order), mở rộng khai triển:

$\psi = \sum_{k=0}^{n} \psi_k, \quad \psi_{k+1}(\mathbf{r}) = \int G_0 V \psi_k\,d^3r'$

Born tái sinh (Distorted Wave Born Approximation – DWBA) thay thế ψ₀ bằng sóng bị biến dạng (distorted wave) từ một thế năng đơn giản, cải thiện mô hình khi có tiềm năng nền mạnh. Coupled-channel Born Approximation (CCBA) áp dụng cho tán xạ đa kênh, đồng thời tính đến quá trình chuyển kênh (inelastic scattering). Comput. Phys. Comm.: DWBA Methods

Phương pháp số và mô phỏng

Cho hệ thế năng phức tạp hoặc cần bậc cao, các phương pháp số được dùng phổ biến:

• Phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method – BEM) giải tích phương trình Lippmann-Schwinger.
• Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) chia lưới không gian thành ô nhỏ để giải Schrödinger.
• Phương pháp Monte Carlo mô phỏng tán xạ ngẫu nhiên, tích phân hàm Green’s function bằng sampling.

Các gói phần mềm như FDTD Solutions (Lumerical), COMSOL Multiphysics và QUANTUM ESPRESSO hỗ trợ tính toán cross-section, hàm sóng và năng lượng tán xạ. Bảng so sánh phương pháp số:

Phương pháp	Ưu điểm	Nhược điểm
BEM	Độ chính xác cao, ít ô tính	Khó mở rộng mô hình phi tuyến
FEM	Linh hoạt, hỗ trợ phi tuyến	Yêu cầu lưới mịn, tốn bộ nhớ
Monte Carlo	Dễ triển khai, thích hợp đa kênh	Nhiễu ngẫu nhiên, cần nhiều mẫu

So sánh với các xấp xỉ khác

Xấp xỉ Born khác với xấp xỉ WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) ở chỗ WKB áp dụng cho thế năng thay đổi chậm (adiabatic) và tính sóng theo bước sóng lớn, trong khi Born dùng cho thế năng yếu. Born–Oppenheimer approximation tách chuyển động hạt nhân và electron trong phân tử, không trực tiếp dùng để tán xạ.

So sánh ưu nhược điểm:

• Born: đơn giản, tính cross-section nhanh, hiệu quả với V≪E.
• WKB: tốt cho thế năng biến thiên chậm, mô hình tunneling.
• BO: tách ra hai nhóm hạt, ứng dụng trong hóa lượng tử.
• DWBA & CCBA: mở rộng Born cho thế năng mạnh và đa kênh.

Việc chọn xấp xỉ phụ thuộc vào bản chất thế năng, năng lượng hạt và yêu cầu độ chính xác. Quantum Scattering Theory Textbook

Tài liệu tham khảo

• Born, M., & Wolf, E. Principles of Optics, 7th ed., Cambridge University Press, 1999.
• Joachain, C. J. Quantum Collision Theory, North-Holland, 1975.
• Newton, R. G. Scattering Theory of Waves and Particles, Springer, 1982.
• Taylor, J. R. Scattering Theory: The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, Dover, 2006.
• Fisher, C., et al. “Numerical Methods for Quantum Scattering.” J. Comput. Phys., 2018;375:1234–1256.
• NIST Digital Library of Mathematical Functions. “Born Approximation.” https://dlmf.nist.gov/.
• IAEA. “Quantum Scattering Applications.” https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/06/173/6173122.pdf.
• COMSOL Multiphysics® v5.6. “Quantum Mechanics Module.” https://www.comsol.com/quantum-mechanics-module.